Educación Dominicana

Ejercicio 14 resuelto. Tomado del libro “Fisica 2 de Educación Media” Susaeta.

Una barra AB de peso despreciable tiene una longitud de 1 m. Si de sus extremos colgamos 4kg y 6 kg respectivamente, ¿a qué distancia “X” de A debe suspenderse la barra para que quede en equilibrio?

Como se puede observar, el peso en el extremo A, tiende a hacer girar la barra en sentido contrario a las manecillas del reloj. Por lo tanto, consideramos positivo ese movimiento (+).

La carga en el extremo B, sin embargo, tiende a hacer girar la barra en sentido de las manecillas del reloj. Por tanto, consideremos negativo (-) ese giro.

Para que haya equilibrio, el momento o Torque debe ser igual a cero. O sea, la sumatoria en A debe ser igual a la sumatoria en B.

El Torque se define como la Fuerza multiplicada por la distancia del brazo. Queremos encontrar esa distancia. Le vamos a llamar X1 a la distancia desde A y X2  la distancia desde B.

Por tanto ∑τ = (4kg) (9.8 m/s2) (x1) – (6kg) (9.8 m/s2) (X2) = 0            (Formula 1)

Como pueden observar, hemos introducido la aceleración de la gravedad para obtener la Fuerza, ya que el peso es una fuerza y se define como MASA POR ACELERACION. Las variables X1 y X2 son desconocidas. Lo único que sabemos es que la suma de ambas es 1 metro; es decir, x1+x2 = 1 (Formula 2)

La fórmula 1 puede también ser escrita como:

(4kg)(9.8)(x1) = (6kg)(9.8)(x2)

Eliminando términos semejantes, nos queda: 4×1 = 6×2 (Fórmula 3)

Si despejamos de la fórmula 2 el valor de X2, tendremos: x2=1-x1 (Formula 4)

Si en la fórmula 3 sustituimos X2 por la fórmula 4, tendremos:

4X1 = 6(1-X1) -> Por lo tanto, 4X1 = 6-6X1 Continuando con el despeje,

4X1+ 6X1 = 6, que es lo mismo que 10X1 = 6. Entonces tendremos el valor de X1

X1 = 6/10 = 0.6 m.

Este resultado significa que el punto de equilibro se encuentra a 0.6 metros del punto A.

Un costal de cemento cuelga de tres alambres. Los dos alambres forman ángulos θ1 y θ2 con la horizontal. Si el sistema está en equilibrio, a) Demuestre que T1 = w cos θ2/sen (θ1+θ2)

b) Dado que w = 325N, θ1 = 10 grados y θ2 = 25 grados, encuentre las tensiones T1,T2 y T3 en los alambres. Ignorar el peso de los alambres.

b) El peso de la funda va dirigido hacia abajo mientras las dos componentes de las fuerzas T1 y T3 van dirigidas hacia arriba. La sumatoria de estas dos fuerzas hacia arriba, es decir, sus componentes en Y, deben ser iguales a la fuerza que va dirigida hacia abajo, es decir, T3 = 325N.

Dado que el peso de la funda de cemento es de 325 Newtons y los ángulos que forman los dos cables que sostienen hacia arriba forman ángulos de 10 y 25 grados respectivamente, las tensiones en esos cables (T1 y T2) deben ser descompuestas en sus componentes en el eje Y. Como puede observarse en la figura, el ángulo θ1 es de 10 grados y θ2 = 25 grados. Por el teorema geométrico que dice que los “ángulos alternos internos son iguales” vemos que el mismo ángulo θ1 es el mismo en la horizontal. Lo mismo sucede en el cuadrante I con el ángulo θ2.

Sumatoria de Fuerzas en X y en Y:

∑Fx = T2 Cos 25 – T1 Cos10 = 0 (1)

∑Fy = T2 Sen 25 + T1 Sen 10 = 325N (2)

Se nos ha pedido que encontremos la tensión en T1, T2 y T3. Realmente, ya tenemos T3 que es igual a 325 Newtons. Encontraremos T1 y T2 despejando en la ecuación No. 1 la variable T2 (pudo haber sido T1, eso no importa. Lo que debemos hacer es despejar un valor de ellos para luego reemplazarlo en la ecuación No. 2 como veremos más adelante)

Despejando T2 en (1): T2 = T1Cos 10/Cos 25 (3)

Sustituimos este valor de T2 en la ecuación 2, es decir, donde aparezca T2 ponemos su equivalente, que es la ecuación No. 3:

(T1Cos 10/Cos25) Sen 25 + T1 Sen 10 = 325 (4)

Sen 10 = 0.17; cos 10 = 0.98 | Sen 25 = 0.42; Cos 25 = 0.90

Con estos valores, podemos escribir la ecuación (4) de la siguiente forma:

1.08T1(0.42)/0.90 + 0.17T1 = 325

Resolviendo: T1=524.19 N

Sustityendo este valor de T1 e la Ecuacion 1 (por mayor facilidad):

0.90T2 = 0.98(524.19) = 0 de donde: T2 = 570. N

NOTA: Hay alumnos que se equivan pensando que la suma de los valores T1 + T2 deben ser iguales a T3. Téngase en cuenta que solamente la sumatoria de la componente en Y de T1+T2 debe ser igual a T3. Si hace las transformaciones necesarias en la ecuación (2) con los valores ahora obtenidos verá que se cumple esa igualdad. (Podrían haber erroes despreciables y que son debido a la forma como hacemos el redondeo de los valores del seno y coseno de los ángulos utilizados)

El punto a) de este problema lo hemos dejado de último. Ya conocemos el valor de T1.  Si aplicamos la fórmula T1 = w cos θ2/sen (θ1+θ2) obtendremos un valor diferente al valor T1 encontrado. En otras palabras, esa fórmula no aplica. La que sí aplica es la siguiente:

T1= w Cos θ2/[(Cos θ1 Seno θ2) + (Sen θ1 Cos θ2)] la cual se deriva de las mismas expresiones formuladas en (1) y (2)

Un disco de hockey es golpeado por dos fuerzas. Una de 5 NT dirigida a 35 grados sobre el eje X y la otra es de 10 N dirigida en dirección de 45 grados con relación a X. Determine la magnitud, dirección y sentido de la aceleración.

Siempre es recomendable hacer un gráfico que nos permita visualizar el problema. En este caso creamos un eje de coordenadas cuyo origen puede ser el mismo disco de hockey. Las flechas de cada fueza que ilustran la figura principal nos dicen en qué dirección va dirigida la fuerza. Como se puede observar, los golpes recibidos están en posiciones CASI opuestas. Sin embargo, una fuerza es mayor que la otra. Podemos suponer que el objeto se moverá en la dirección hacia donde se dirige la mayor fuerza.

Es por esta razón que hemos creado una segunda ilustración, la más pequeña, donde se muestra el sentido de la fuerza que resultará. La fuerza de 10 N está en el tercer cuadrante y la la fuerza de 5 está en el primer cuadrante, lo contrario como se muestra en la ilustración mas grande.

Aplicando la fórmula de la Segunda Ley de Newton:

∑F = F1 + F2 = ma

Como puede observarse en la 2da figura, la F1 (5 N) es positiva y la fuerza F2 (10N) es negativa.

Sin embargo, debemos encontrar las componentes de cada fuerza ya que se nos pide encontrar la magnitud, dirección y sentido de la aceleración. Las componentes en el eje X y el eje Y.

∑Fx = F1x+F2x = max

Como puede observarse en la gráfica mas pequeña, la componente en X de la Fuerza  de 5 N es la misma fuerza por el coseno del ángulo de 35 grados. La componente en X de la fuerza de 10 N es negativa y equivale a la misma fuerza multiplicado por el coseno de 45 grados. Sustituyendo por los valores correspondientes:

(5)cos35 + (-10)cos45 = (1kg) ax. Despejando ax y obteniendo los valores del coseno de 35 y 45 grados respectivamente, se obtiene el valor de la aceleración en el eje X:

ax = (F1x-F2x)/m => ax = (4.09-7.1)/1 = -3m/s²

Un procedimiento similar se utiliza para buscar la componente en el eje Y. Pero en este caso, la fuerza debe ser multiplicada por el seno del ángulo que es e lado opuesto:

ay = (F1ysen35 – F2ySen45)/m => ay = -4.25 m/s²

Aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene la magnitud de la aceleración: a = √(-3)²+(-4.25)²

a = 5.20 m/s² (Magnitud de la aceleración)

La dirección de la aceleración se obtiene buscando el ángulo de inclinación. En este caso, el arco de tangente del cateto opuesto entre el cateto adyacente nos dará el ángulo buscado: arc tan ø = 4.25/3 = 55 grados.

(Recuerde, el resultado de dividir 4.25 entre 3 debe sacarle el arco de tangente equivalente. Una calculadora científica o un libro con tablas trigonométricas le da la respuesta.)

Un bote se mueve en el agua con dos fuerzas actuando sobre él. Una es de 2000 N hacia adelante que la produce el empuje de la hélice; la otra es de 1800 N, que es producto de la resistencia del agua alrededor del bote. a) ¿Cuál es la aceleración del bote si su masa es de 1000 kg.? b) Si empieza desde el reposo, cuán lejos puede llegar en 10 segundos? c) Cuál será su velocidad en ese tiempo?

Es bueno para estos tipos de ejercicios hacer una representación gráfica de la situación para poder interpretar favorablemente la solución.

El bote avanza porque la fuerza producida por el motor es mayor que la que ofrece la resistencia del agua.

Asumiendo que el bote se mueve horizontalmente, digamos que en el eje X, la sumatoria de fuerzas en X :

∑Fx = Fe – Fr = ma

(Sumatoria de fuerzas en X igual Fuerza de empuje menos Fuerza de resistencia igual a la masa por la aceleración)

donde Fe es la Fuerza de Empuje (2000 N), Fr la Fuerza de Resistencia (1800N), m equivale a la masa del bote (1000 kg) y a es la aceleración que deseamos encontrar.

Sustituyendo y despejando la variable a: 2000 – 1800 = (1000)a → (por tanto) 200/1000 = a

La aceleración es a=0.2 m/s² (Respuesta a la primera pregunta)

b) La segunda pregunta nos da un tiempo de 10 segundos con el cual debemos encontrar la distancia recorrida durante ese tiempo, tomando como velocidad de inicio el reposo, es decir, velocidad cero.

La fórmula utilizada en dinámica de partículas para calcular este problema es:

X(Desplazamiento) = Vit + 1/2at² (Esto es, Velocidad inicial + la mitad de la aceleración por el tiempo al cuadrado)

Dando los valores a cada término de esta variable: Desplazamiento = 0(10) + 1/2 (0.2)(10)² donde se obtiene un desplazamiento equivalente a 10 metros.

c) Con la fórmula V = at (Velocidad igual a aceleración por tiempo) podemos obtener la velocidad en 10 segundos: V = 0.2 m/s²(10 s) = 2 m/s (Dos metros por segundo)

NOTA: Otra fórmula que pudo haberse utilizado con los mismos resultados es: V² =Vi² + 2ax, siendo V la velocidad buscada, Vi la velocidad inicial, a = aceleracion y X = distancia recorrida.

El aire ejerce una fuerza de 10 N a la hélice de un avión modelo de 0.20 kg. Si el juguete acelera a 2 m/s², ¿cuál es la magnitud de la fuerza de resistencia que ejerce el aire en  la nave?

Este problema podemos definirlo afirmando que el avión avanza venciendo la fuerza del viento, que es la misma resistencia (Fr). La fuerza quelo impulsa es de 10 N. De manera que se puede crear la siguiente fórmula

∑F = ma

La sumatoria de fuerzas en el eje X es la fuerza de avance (10 N) menos la resistecia del aire (Fr) que es la fuerza que deseamos encontrar. La igualdad (ma) es la masa del avión (0.2kg) por la aceleración dada.

10N – Fr = (.2kg)(2m/s²

Despejando Fr se tiene el valor de 9.6 N.

Un tren de carga tiene una masa de 1.5 x 10^7 kg.. Si la locomotra puede ejercer un empuje constante de 7.5 x 10^5 Newton, ¿cuánto tiempo toma aumentar la velocidad del tren del reposo a 80 Km/h?

Como la fuerza es constante, la aceleración la obtenemos de la fórmula F = ma. Despejando: a = F/m

7.5 x 10 ^ 5N/1.5 x 10^7 kg = 5 x 10˜² m/s². Esto es lo mismo que 0.05 m/s²

Con esa aceleración y aplicando la fórmula  t=V/a la cual se obtiene de la conocida V=at

El tiempo por tanto es : 80km/h ÷ 0.05 m/s²

Como se puede observar, debemos llevar a metros/segundos la velocidad expresada en kilómetros por hora. 80 Km/hora es lo mismo que 80000 m/3600 segundos; es decir, 22.22 m/s.

Por tanto, 22.22 m/s ÷ 0.05 m/s² = 444.4 segundos que es lo mismo que 7.40 minutos.

En otras palabras, al tren de 15,000,000 de kilogramos le tomará un tiempo de 7 minutos y algunos segundos en alcanzar la velocidad de 80 k/h si es empujado con una fuerza de 750,000 Newtons.

Una bolsa de azúcar pesa 5 libras en la tierra. ¿Cuánto pesará en Newtons en la Luna donde la aceleración por caída libre es un sexto del de la tierra? Hacer lo mismo para Júpiter, donde g es 2.64 veces mayor que en la Tierra?
Se debe determinar la aceleración de la gravedad en la luna. Si en la tierra g = 9.8 m/s², en la luna es 1/6; es decir, (1/6)(9.8) = 1.63 m/s²

Como se nos pide la respuesta en Newton, tenemos que llevar las 5 libras a kilogramos. Un kilogramo equivale a 2.2046 libras. De manera que 5 libras/2.2046 = 2.27 kg.

El peso se calcula aplicando la segunda Ley de Newton: F=ma

Resolviendo: F = Peso = (2.27)(1.63) = 3.7 N

En Júpiter, la aceleración de la gravedad es 2.64 veces mayor que en la tierra; o sea, 2.64(9.8) = 25.87 m/s²

Multiplicando esta aceleración por la masa de 2.27 kg tendremos: 58.7 N

Hipotéticamente hablando, si un terrícola fuera a vivir a Júpiter, nuestros ojos estarían brotados, nuestro tamaño promedio sería inferior al que tenemos y probablemente todos los órganos del cuerpo parecerían una caricatura aplastada de lo que ahora somos.

Un objeto de 5 kg. desarrolla una aceleración de 2 m/s². a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante que actúa en él? b) Si esta misma fuerza se aplica a una masa de 4kg., ¿qué aceleración se produce?

a) Utilizando la fórmula de la segunda Ley de Newton: F = ma

F = (6kg) * (2m/s²) = 12Newton

b) Despejando la fórmula anterior para obtener la aceleración, tenemos que a=F/m

Por tanto, a = 12 N/4kg = 3 m/s²

Un automovilista viaja hacia el norte durante 35 minutos a 85 km/h y luego se detiene durante 15 minutos. Después continua hacia el norte, recorriendo 130 km en 2 horas. a) ¿Cuál es su desplazamiento total? b) ¿Cuál es su velocidad promedio?

a) En el primer tramo del viaje la velocidad es de 85 km/hora pero no viaja durante una hora completa. Sólo viaja durante 35 minutos. Aplicando la fórmula : Desplazamiento = v.t = (85km/60min)*35min = 49.58 km.

En el segundo tramo se ve claramente que si recorrió 130 km en 2 horas, significa que recorrió 65 km cada hora. El desplazamiento total, como fue en la misma dirección norte, es 49.58+130 = 179.58 km. en dirección norte.

b) Sin tomar en cuenta el tiempo que estuvo detenido, la velocidad promedio en este caso se obtiene sumando las dos velocidades y dividiéndolo entre dos, es decir: (85km/h + 65 km/h)/2 = 72.5 km/h

Una particula se mueve a lo largo del eje x segun la ecuación x = 2 +3t – 1t² donde X está en metros y t en segundos.  En t = 3s., encuentre a) la posición; b) la velocidad y c) su aceleración.

a) La posición se determina sustityendo el valor de t por 3 segundos:

X = 2+3(3)-1(3)² = 11-3 = 8 metros

b) Derivando la formula, tenemos que dx/dt = 3-2t. Sustituyendo a t por 3 segundos:

Velocidad = 3-2(3) = -6 m/s

c) La aceleración se obtiene con la segunda derivada de la ecuación que es Δv/Δt = -2; o sea, Aceleración = -2 m/s². El mismo resultado se obtiene si se divide la velocidad entre el tiempo -6/3 = -2 m/s²

Una rápida tortuga puede desplazarse a 10 cm/s, y una liebre puede correr 20 veces más rápido. En una carrera, los dos corredores inician al mismo tiempo, pero la liebre se detiene durante 2 minutos y, por ello, la tortuga gana por un caparazón (20 cm).

a) Qué tanto duró la carrera? b) ¿Cuál fue el espacio recorrido?

Basándonos en la fórmula de DESPLAZAMIENTO = VELOCIDAD * TIEMPO, sabemos que la DISTANCIA que recorre la TORTUGA es 20 cm*T. Llamemos DT la distancia que recorre la tortuga y tenemos la fórmula:

DT = 10cm x t = 10t

La DISTANCIA que recorre la LIEBRE es 20 veces la velocidad de la tortuga por el tiempo menos 2 minutos (2 minutos son 120 segundos). Es decir:

DL = 20(10cm) x (t -120) = 200(t-120)

También sabemos que la liebre recorre la misma distancia que la tortuga menos 20 cm

De manera que igualando ambas fórmulas, podemos afirmar que la DISTANCIA de la LIEBRE = DISTANCIA DE LA TORTUGA menos 20 cm. Dicho con las fórmulas expuestas arriba tenemos:

DL = DT-20cm

Sustituyendo DL y DT por sus valores:

200(t – 120) = 10t -20 => 200t -24000= 10t-20 => 200t – 10t = -20+24000

Tiempo: 126 segundos

b) A una velocidad de 10cm/s, se recorre en 126 segundos una distancia X=Vt = 10*126= 1260 cm que es lo mismo que 12.60 metros

Un objeto se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x=3t^2-2t+3, donde x está en metros y t en segundos. Determine a) la velocidad promedio entre t = 2 segundos y t = 3 segundos; b) la velocidad instantánea para t = 2 segundos y t = 3 segundos; c) la aceleración promedio entre t = 2 sgs. y t = 3 sgs.; d) la acelración instantánea para t = 2 s. y t = 3s.

a) Se nos pide la velocidad promedio cuando el tiempo transcurre de dos segundos a tres segundos.
Calculemos la distancia recorrida en 2 segundos (sustityendo a t por 2): x = 3(2)^2-2(2)+3 = 11 m.
Cuando t = 3 tenemos: x = 3(3)^2-2(3)+3 = 24 m
Tomando en cuentra que la velocidad promedio es la velocidad final menos la velocidad inicial, dividido entre el tiempo final menos el tiempo inicial, V = 24-11/3-2 = 13 m/s

b) La velocidad instantánea es la derivada del desplazamiento sobre el tiempo. Esto: dx/dt=6t-2

Para t=3, V = 18-2 =16 m/s

Para t = 2, V = 12-2 = 10m/s

c) La aceleración promedio de las dos veocidades anteriores son (16-10)/3-2 = 6 m/s²